Strings of congruent primes in short intervals

Abstract

Soit p1=2,p2=3,p3=5,… la suite des nombres premiers, et soient q≥3 et a des entiers premiers entre eux. R'ecemment, Daniel Shiu a d'emontr'e une ancienne conjecture de Sarvadaman Chowla. Ce dernier a conjectur'e qu'il existe une infinit'e de couples pn,pn+1 de premiers cons'ecutifs tels que pn≡pn+1≡amodq. Fixons ϵ>0. Une r'ecente perc'ee majeure, de Daniel Goldston, J`anos Pintz et Cem Y{\i}ld{\i}r{\i}m, a 'et'e de d'emontrer qu'il existe une suite de nombres r'eels x tendant vers l'infini, tels que l'intervalle (x,x+ϵlog⁡x] contienne au moins deux nombres premiers ≡amodq. 'Etant donn'e un couple de nombres premiers ≡amodq dans un tel intervalle, il pourrait exister un nombre premier compris entre les deux qui n'est pas ≡amodq. On peut d'eduire que soit il existe une suite de r'eels x tendant vers l'infini, telle que (x,x+ϵlog⁡x] contienne un triplet pn,pn+1,pn+2 de nombres premiers cons'ecutifs, soit il existe une suite de r'eels x, tendant vers l'infini telle que l'intervalle (x,x+ϵlog⁡x] contienne un couple pn,pn+1 de nombres premiers tel que pn≡pn+1≡amodq. On pense que les deux 'enonc'es sont vrais, toutefois on peut seulement d'eduire que l'un d'entre eux est vrai, sans savoir lequel. Dans la premi`ere partie de cette th`ese, nous d'emontrons que le deuxi`eme 'enonc'e est vrai, ce qui fournit une nouvelle d'emonstration de la conjecture de Chowla. La preuve combine des id'ees de Shiu et de Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m, donc on peut consid'erer que ce r'esultat est une application de leurs m'thodes. Ensuite, nous fournirons des bornes inf'erieures pour le nombre de couples pn,pn+1 tels que pn≡pn+1≡amodq, pn+1−pn<ϵlog⁡pn, avec pn+1≤Y. Sous l'hypoth`ese que θ, le \og niveau de distribution \fg{} des nombres premiers, est plus grand que 1/2, Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m ont r'eussi `a d'emontrer que pn+1−pn≪θ1 pour une infinit'e de couples pn,pn+1. Sous la meme hypoth`ese, nous d'emontrerons que pn+1−pn≪q,θ1 et pn≡pn+1≡amodq pour une infinit'e de couples pn,pn+1, et nous prouverons 'egalement un r'esultat quantitatif. Dans la deuxi`eme partie, nous allons utiliser les techniques de Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m pour d'emontrer qu'il existe une infinit'e de couples de nombres premiers p,p′ tels que (p−1)(p′−1) est une carr'e parfait. Ce resultat est une version approximative d'une ancienne conjecture qui stipule qu'il existe une infinit'e de nombres premiers p tels que p−1 est une carr'e parfait. En effet, nous d'emontrerons une borne inf'erieure sur le nombre d'entiers naturels n≤Y tels que n=ℓ1⋯ℓr, avec ℓ1,…,ℓr des premiers distincts, et tels que (ℓ1−1)⋯(ℓr−1) est une puissance r-i`eme, avec r≥2 quelconque. 'Egalement, nous d'emontrerons une borne inf'erieure sur le nombre d'entiers naturels n=ℓ1⋯ℓr≤Y tels que (ℓ1+1)⋯(ℓr+1) est une puissance r-i`eme. Finalement, 'etant donn'e A un ensemble fini d'entiers non-nuls, nous d'emontrerons une borne inf'erieure sur le nombre d'entiers naturels n≤Y tels que ∏p∣n(p+a) est une puissance r-i`eme, simultan'ement pour chaque a∈A. Let p1=2,p2=3,p3=5,… be the sequence of all primes, and let q≥3 and a be coprime integers. Recently, and very remarkably, Daniel Shiu proved an old conjecture of Sarvadaman Chowla, which asserts that there are infinitely many pairs of consecutive primes pn,pn+1 for which pn≡pn+1≡amodq. Now fix a number ϵ>0, arbitrarily small. In their recent groundbreaking work, Daniel Goldston, J`anos Pintz and Cem Y{\i}ld{\i}r{\i}m proved that there are arbitrarily large x for which the short interval (x,x+ϵlog⁡x] contains at least two primes congruent to amodq. Given a pair of primes ≡amodq in such an interval, there might be a prime in-between them that is not ≡amodq. One can deduce that \emph{either} there are arbitrarily large x for which (x,x+ϵlog⁡x] contains a prime pair pn≡pn+1≡amodq, \emph{or} that there are arbitrarily large x for which the (x,x+ϵlog⁡x] contains a triple of consecutive primes pn,pn+1,pn+2. Both statements are believed to be true, but one can only deduce that one of them is true, and one does not know which one, from the result of Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m. In Part I of this thesis, we prove that the first of these alternatives is true, thus obtaining a new proof of Chowla's conjecture. The proof combines some of Shiu's ideas with those of Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m, and so this result may be regarded as an application of their method. We then establish lower bounds for the number of prime pairs pn≡pn+1≡amodq with pn+1−pn<ϵlog⁡pn and pn+1≤Y. Assuming a certain unproven hypothesis concerning what is referred to as the `level of distribution', θ, of the primes, Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m were able to prove that pn+1−pn≪θ1 for infinitely many n. On the same hypothesis, we prove that there are infinitely many prime pairs pn≡pn+1≡amodq with pn+1−pn≪q,θ1. This conditional result is also proved in a quantitative form. In Part II we apply the techniques of Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m to prove another result, namely that there are infinitely many pairs of distinct primes p,p′ such that (p−1)(p′−1) is a perfect square. This is, in a sense, an `approximation' to the old conjecture that there are infinitely many primes p such that p−1 is a perfect square. In fact we obtain a lower bound for the number of integers n, up to Y, such that n=ℓ1⋯ℓr, the ℓi distinct primes, and (ℓ1−1)⋯(ℓr−1) is a perfect rth power, for any given r≥2. We likewise obtain a lower bound for the number of such n≤Y for which (ℓ1+1)⋯(ℓr+1) is a perfect rth power. Finally, given a finite set A of nonzero integers, we obtain a lower bound for the number of n≤Y for which ∏p∣n(p+a) is a perfect rth power, simultaneously for every a∈A.