Invariants symplectiques et fragmentation des difféomorphismes hamiltoniens

Abstract

Cette thèse est une collection de quatre articles rédigés par l’auteur pendant son programme de doctorat. La plupart des résultats des articles se concentrent sur la théorie de Floer et les invariants numériques extraits des homologies de Floer filtrées. Une brève description des résultats de chaque article est fournie ci-dessous. Le premier article (Chapitre 1) concerne le groupe des difféomorphismes préservant la forme ωᵏ. On démontre que la composante de l’identité du groupe des difféomorphismes d’une variété symplectique (M, ω) préservant la forme ωᵏ pour k < n coïncide avec la composante de l’identité du groupe des symplectomorphismes. Ce n’est pas le cas pour k = n, en raison du célèbre théorème de non-plongement symplectique [Gro85]. Le deuxième article (Chapitre 2) concerne les intersections lagrangiennes. Nous prouvons que, étant donné une sous-variété lagrangienne rationnelle fermée L d’une variété symplectique convexe compacte W, pour chaque difféomorphisme hamiltonien f de W avec γ(f) < ρ(L), où ρ(L) est la constante de rationalité de L, on a #f(L) ∩ L ≥ cl(L,Z/2) + 1. Cela généralise les résultats de [Pol93, Che98, KS21]. Dans le troisième article (Chapitre 3), nous montrons que la capacité spectrale de la boule de Darboux standard est égale à sa capacité standard. Nous calculons ensuite les capacités spectrales des ellipsoïdes symplectiques et des polydisques. De plus, nous prouvons que si deux boules disjointes de capacités a and b se plongent symplectiquement dans un ouvert U d’une variété symplectique asphérique, alors la capacité spectrale de U est au moins a + b. En corollaire, nous présentons une preuve alternative du théorème de l’empilement de deux boules de Gromov. Des résultats analogues sont obtenus pour les espaces projectifs complexes. Le quatrième article (Chapitre 4) étudie la fragmentation hamiltonienne en dimension quatre. Nous prouvons que, pour un ϵ > 0 donné, chaque difféomorphisme hamiltonien C⁰-petit de 𝔻 × 𝔻 peut être décomposé en N = N(ε) difféomorphismes hamiltoniens, chacun supporté dans D × D, pour un certain disque topologique D dont l’aire est plus petite que ϵ. Cela constitue le premier résultat de fragmentation hamiltonienne en quatre dimensions à la suite de [Fat80, LR10, EPPK12]. Comme applications, nous prouvons la C0-continuité des estimateurs spectraux de Polterovich-Shelukhin et détectons un plongement isométrique de C∞ c (0,b) muni la distance C0 dans le groupe Ham(D × D) muni de la distance de Hofer. Most of the results of the (four) articles included in this thesis focus on Floer theory and numerical invariants extracted from the filtered Floer homologies. A brief description of the results from each article is provided below. The first article (Chapter 1) is about the group of diffeomorphisms that preserve the form ωk. It is shown that the identity component of the group of diffeomorphisms of a symplectic manifold (M2n, ω) preserving the form ωk for k < n coincides with the identity component of the group of symplectomorphisms. This is not the case for k = n due to the famous symplectic non-squeezing theorem of Gromov [Gro85]. The second article (Chapter 2), concerns Lagrangian intersections. Let L be a closed rational Lagrangian submanifold of a compact convex symplectic manifold W with a rationality constant ρ. We prove that for every compactly supported Hamiltonian diffeomorphism f of W with γ(f) < ρ(L) one has #f(L) ∩ L ≥ cl(L,Z/2) + 1. This generalized the results of Polterovich [Pol93], Chekonov [Che98] and Kislev-Shelukhin [KS21]. In the third article (Chapter 3), we show that the spectral capacity of a Darboux ball is equal to its standard capacity, πr2 where r is the radius of the ball. We compute the spectral capacities of ellipsoids and polydisks. We show that if two disjoint balls with capacities a and b symplectically embed in an open set U of an aspherical symplectic manifold, then the spectral capacity of U is at least a + b. This gives an alternative proof of Gromov’s two ball-packing theorem. Analogous results are obtained for complex projective spaces. The fourth article (Chapter 4), studies Hamiltonian fragmentation in dimension four. We prove that for a given ϵ > 0 every C0-small enough Hamiltonian diffeomorphism of D × D can be decomposed into N = N(ϵ) Hamiltonian diffeomorphisms, each supported in D × D, for some topological disk D, can be different for each fragment, with area smaller than ϵ. This is the first four-dimensional Hamiltonian fragmentation result subsequent to the two-dimensional results [Fat80, LR10, EPPK12]. We prove the C0-continuity of Polterovich-Shelukhin spectral estimators and detect an isometric embedding of C∞ c (0,b) with C0-distance into the group Ham(D × D) equipped with the Hofer distance.