Classical and quantum decoding algorithms with ZX-Calculus

Abstract

Le thème unificateur des contenus sera l’examen des codes correcteurs d’erreurs à travers le prisme du calcul ZX. Plus précisément, nous aborderons les codes de stabilisateur ainsi que les codes polaires classique et quantique. L’objectif d’utiliser le prisme du ZX-calculus est de bénéficier d’un niveau d’abstraction plus élevé. Le premier avantage de cette approche est de voir si nous pouvons offrir une interprétation plus naturelle des preuves existantes, ce qui faciliterait leur enseignement et leur apprentissage. L’autre avantage est que la simplification conceptuelle apportée par l’abstraction permettrait de mieux comprendre les effets et les implications de la mécanique quantique, favorisant ainsi des avancées plus significatives dans le développement des algorithmes quantiques de tous types. En utilisant le ZX-calculus, nous commencerons par examiner les codes stabilisateurs qui sont les plus utilisés parmi les codes correcteurs d’erreurs quantiques. Ensuite, nous entrerons également dans les détails des codes polaires classiques et quantiques et montrerons comment nous pouvons reformuler la méthode de décodage classique en une méthode qui prend en compte les contraintes de l’information quantique, telles que l’impossibilité de connaître l’état d’un qubit à moins de le mesurer et donc de le perturber. Cette nouvelle méthode est applicable dans les cas quantiques ainsi que classiques pour certains types de canaux d’erreur. Tout cela conduit à la formulation d’une nouvelle méthode de décodage visant à fonctionner pour tous les types de canaux d’erreur en catégorisant tous les scénarios d’erreur possibles nécessitant des actions pour corriger les données, puis en utilisant un ensemble de mesures pour réduire les possibilités à un point qui nous donne une certitude presque totale. The unifying theme of the contents will be looking at error correcting codes through the lens of ZX-calculus. Specifically, we will be covering stabilizer codes and both classical and quantum polar codes. The purpose of using the lens of ZX-calculus being to use a higher level of abstraction. The first benefit of this being in seeing if we can give a more natural interpretation of existing proofs which would make it easier to teach and learn. The other benefit being that the conceptual simplification afforded by abstraction would allow for our imaginations to have a greater intuition onto the effects and implications of quantum mechanics, allowing for greater progress in development of quantum algorithms of all kinds. Using ZX-calculus we first look at stabilizer codes: the most common and widely used of quantum error correcting codes. Then, we will also go into the details of classical and quantum polar codes and show how we can reformulate the classical decoding method into one which considers the constraints of quantum data, such as being completely blind to the state of a qubit unless we measure and thus perturb it. This new method is shown to be applicable in both the quantum and classical cases for certain types of error channels. This all leads to the formulation of a new decoding method that aims to work for all types of error channels by categorizing all possible error scenarios by which actions are necessary to fix the data and then uses a set of measures to narrow down the possibilities to a point that gives us almost complete certainty.