Apprentissage de la dérivée au postsecondaire : analyse des pratiques entre les cours de calcul et de mécanique, et identification de ruptures et continuités

Abstract

Parmi les nombreuses disciplines utilisant les notions et outils du calcul, la physique est celle qui entretient la relation la plus serrée avec les mathématiques, ne serait-ce que par sa contribution à la naissance de l’une des notions clés du calcul : la dérivée. De fait, au niveau collégial, non seulement la dérivée est au cœur du cours de calcul différentiel, mais elle joue aussi un rôle important dans le cours de mécanique, ayant une place centrale en cinématique (étude du mouvement) où elle apparaît comme vitesse et accélération. Au collège Dawson où se situe notre étude, comme dans d’autres collèges de la Province et ailleurs dans le monde, ces deux cours sont suivis simultanément par les étudiants du programme de sciences dès leur première session d’études collégiales. Ces étudiants rencontrent donc la notion de dérivée pour la première fois dans deux contextes différents. De plus, des études récentes mettent en lumière le rôle de filtre des cours de calculs dans les études en STIM (Sciences, Technologies, Ingénierie et Mathématiques), se traduisant par un taux d’échec important dans ces programmes. Au-delà du fait que la dérivée est reconnue par la recherche en didactique des mathématiques comme une notion particulièrement difficile, cela pourrait aussi être dû à un manque de motivation des étudiants qui ne voient pas de liens entre le cours de calcul et les autres disciplines fondamentales de leur programme. Cependant, nous avons pu constater que peu d’études s’intéressent à l’enseignement et l’apprentissage de la dérivée au postsecondaire, même si la recherche sur le calcul dans les autres disciplines fait l’objet d’un intérêt croissant. De plus, nous avons relevé des points de vue antinomiques dans la littérature à propos du rôle d’un contexte physique pour l’apprentissage de la dérivée : certains chercheurs la voient comme un support à la compréhension, d’autres comme un catalyseur de difficultés. Les considérations précédentes sont à l’origine de notre projet de recherche qui s’intéresse aux liens et rupture dans les pratiques autour de la notion de dérivée en calcul et en mécanique afin de mieux comprendre les difficultés des étudiants. Pour ce faire, nous nous appuyons sur la théorie anthropologique du didactique (TAD) qui, de par son approche institutionnelle, nous fournit des outils pertinents pour notre étude. Afin de trianguler nos résultats, nos analyses se basent sur trois sources de données : manuels, enseignants et étudiants. Malgré un discours commun, notre étude fait ressortir plusieurs ruptures entre les cours de mécaniques et de calcul qui contribuent aux difficultés des étudiants à faire des liens entre les disciplines. En particulier, la résolution des tâches en calcul utilise essentiellement des techniques de dérivation, alors qu’en mécanique, elle repose le plus souvent sur des formules toutes faites qu’il suffit d’appliquer. Nous constatons de plus qu’aucune des disciplines ne favorise la mise en œuvre d’un raisonnement covariationnel, pourtant identifié comme primordial pour une compréhension significative de la dérivée permettant une application des outils du calcul dans d’autres disciplines. Forts de nos résultats, nous émettons des hypothèses sur l’origine de cet état des faits et proposons quelques recommandations pour l’enseignement. Of the many disciplines that use calculus concepts and tools, physics is the one with the strongest ties to mathematics, if only through its contribution to the birth of one of the key calculus concepts: the derivative. In fact, at the college level, the derivative not only is at the heart of the differential calculus course, but also plays an important role in the mechanics course, being central to kinematics (the study of motion), where it appears as velocity and acceleration. At Dawson College, where our study takes place, as well as at other colleges in the province and elsewhere in the world, these two courses are taken simultaneously by science students in their first semester of college. These students thus encounter the concept of derivative for the first time in two different contexts. Moreover, recent studies have highlighted the filtering role of calculus courses in STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics) programs, resulting in a high failure rate in these programs. In addition to the fact that the derivative has been identified by research in mathematics education as a particularly difficult notion, this could also be due to a lack of motivation on the part of students who do not see the relationship between the calculus course and the other fundamental disciplines in their program. However, we identified few studies focusing on the teaching and learning of derivatives in post-secondary education, even though there is growing interest in research on calculus in other disciplines. In addition, we found conflicting views in the literature about the role of a physical context for learning derivatives: some researchers see it as a support for understanding, others as a catalyst for difficulties. The above considerations are at the root of our research project, which examines on the consistencies and inconsistencies in practices around the notion of derivative in calculus and mechanics. Our aim is to gain a deeper understanding of the difficulties encountered by students. To this end, we draw on the anthropological theory of didactics (TAD), whose institutional approach provides us with relevant tools for our study. In order to triangulate our results, our analyses are based on three sources of data: textbooks, teachers and students. Despite a common discourse, our study highlights several inconsistencies between mechanics and calculus courses that contribute to students’ difficulties in making connections between disciplines. In particular, calculus tasks are mostly solved using differentiation techniques, whereas mechanics tasks are usually solved using ready-to-use formulas. Furthermore, we find that none of the disciplines promotes covariational reasoning, although it has been identified as essential for a meaningful understanding of derivatives, enabling the application of calculus tools in other disciplines. In light of our findings, we put forward some hypotheses regarding the origins of this state of affairs, and propose recommendations for teaching.