Groupes de cobordisme lagrangien immergé et structure des polygones pseudo-holomorphes

Abstract

Cette thèse s'intéresse à la théorie de Floer pour les immersions lagrangiennes. On commence par montrer un théorème de décomposition des disques pseudo-holomorphes à bord dans une immersion générique. On donne ensuite une application au calcul du complexe de Floer. On conclut par une esquisse d'un travail en cours sur le calcul de l'obstruction de la chirurgie de deux lagrangiennes plongées et transverses. Dans un deuxième temps, on se restreint au cas des surfaces. On montre qu'un groupe de cobordisme dont les relations sont données par certains cobordismes lagrangien immergés est isomorphe au groupe de Grothendieck de la catégorie de Fukaya. Au passage, on calcule le groupe de cobordisme lagrangien immergé. In this thesis, we shall study Floer theory for Lagrangian immersions. In the first chapter, we prove a decomposition theorem for pseudo-holomorphic disks with boundary on a given generic Lagrangian immersion. We apply this result to the computation of certain Floer complexes. We conclude with work in progress on the computation of the obstruction of the surgery of two transverse Lagrangian submanifolds. In the second chapter, we consider surfaces. We show that a cobordism group, whose relations are given by unobstructed immersed lagrangian cobordisms, is isomorphic to the Grothendieck group of the derived Fukaya category. We also compute the immersed Lagrangian cobordism group.