Négativité d’intrication dans les systèmes de fermions libres inhomogènes

Abstract

Nous investiguons l’intrication entre deux régions non-complémentaires dans la chaîne de Krawtchouk, et ce, par le biais de la négativité logarithmique fermionique. Le premier cas étudié concerne deux intervalles adjacents. Nous retrouvons les résultats prédits par une théorie conforme des champs ayant une charge centrale de 𝑐=1. Nous étudions par la suite le cas d’intervalles disjoints. Nous nous concentrons sur le cas squelettique où chaque région ne contient qu’un seul site et sont séparées par une distance 𝑑. Nous commençons par offrir une formule générale du comportement du terme dominant de la négativité logarithmique fermionique pour une grande séparation et pour toute fraction de remplissage (filling fraction) 𝜌, qui dépend de la fonction de corrélation à deux points. Nous trouvons par la suite le comportement de la négativité logarithmique pour des intervalles centrés respectivement autour de $\( pN \)$ et $\( \frac{N}{2} \)$ pour tout paramètre $\( p \)$ et $\(\rho \ll 1 \)$, ainsi que pour $\( p = \frac{1}{2} \)$ et pour tout $\( \rho \)$. Nous offrons par la suite une conjecture alliant les deux cas. Le comportement de la négativité logarithmique obtenu concorde avec celui obtenu pour le cas homogène avec des fermions de Dirac où la dimension d’échelle fermionique $\( \Delta_f \)$ est de $\( \frac{1}{2} \)$. Par la suite, nous investiguons le cas où le premier site se trouve à une distance $\( m \)$ du début de la chaîne, et le second à $\( d + m \)$. Les dimensions d’échelles obtenues dépendent de la parité de $\( m \)$ : pour un $\( m \)$ pair, $\( \Delta_f^{\text{pair}} = \frac{3}{8} \)$, et pour un $\( m \)$ impair, $\( \Delta_f^{\text{impair}} = \frac{5}{8} \)$. Les résultats sont supportés par des calculs analytiques et numériques. We investigate the entanglement between two non-complementary regions in the Krawtchouk chain, using the fermionic logarithmic negativity. The first case studied concerns two adjacent intervals, where we find the results predicted by conformal field theory for a central charge of 𝑐=1. We then study the case of disjoint intervals. We focus on the skeletal regime where each region contains a single site and is separated by a distance 𝑑. We begin by offering a general expression of the leading term for fermionic logarithmic negativity at large separation and for any filling fraction 𝜌. This enables us to express the logarithmic negativity in terms of the two points correlation function. We subsequently find the behavior of logarithmic negativity for intervals centered respectively around (pN) and (N/2) for any parameter (p) and (\rho ≪ 1), as well as for (p = 1/2) and for any (\rho). We subsequently offer a conjecture combining the two cases. The logarithmic negativity behavior obtained agrees with the one established for the homogeneous case with Dirac fermions where the fermionic scaling dimension (\Delta_f) is (1/2). Next, we investigate the case where the first site is at a distance (m) from the start of the chain, and the second at (d + m). The scaling dimensions obtained depends on the parity of (m): for an even (m), (\Delta^{even}_f = 3/8), and for an odd (m), (\Delta^{odd}_f = 5/8). The results are supported by analytical and numerical calculations.