Structures lisses exotiques en physique

Abstract

Ce mémoire porte sur l'étude des effets physiques des structures différentielles exotiques dans les théories de Kaluza-Klein. Dans un premier temps, nous considérons les 7-sphères exotiques de J. Milnors, que nous mettons en relation avec des solutions des équations de Yang-Mills avec groupe de jauge (SO(4)). Ce faisant, nous relions les invariants topologiques des (SO(4)-)multi-instantons et autre connections de Yang-Mills que nous construisons avec ceux de certains fibrés différentiels associés aux 7-sphères exotiques de Milnor. Ensuite, nous nous servons de la description de ces 7-sphères exotiques comme espaces fibrés au-dessus de (S^4) avec fibre (S^3) et groupe de structure (SO(4)) pour construire des métriques de type Kaluza-Klein sur elles. Ces métriques sont déterminées par la donnée d'une métrique Riemannienne sur (S^4), d'une métrique Riemannienne sur la fibre (S^3) invariante sous (SO(4)), ainsi qu'une connexion de Yang-Mills avec groupe de jauge (SO(4)) et dont les potentiels de jauge donnent les invariants topologiques des 7-sphères exotiques. Par la suite, nous faisons une réduction de la théorie Kaluza-Klein sur les 7-sphères exotiques à une théorie de type Einstein-Yang-Mills avec constante cosmologique sur l'espace-temps compactifié (S^4). Sous cette réduction, des solutions des équations de Einstein-Yang-Mills sur (S^4) apparaissent naturellement. Par ailleurs, nous avons étudié les effets physiques des 7-sphères exotiques munies de métriques de type Kaluza-Klein après la réduction sur (S^4). Pour ce faire, nous nous servons des propriétés de l'opérateur de Dirac des espaces symétriques pour déterminer le spectre de l'opérateur de Dirac sur une 7-sphère exotique dans la limite Kaluza-Klein et sur le spectre du du Hamiltonien de Dirac pour des fermions sur (S^4) en présence de (SO(4)-)multi-instantons à symétrie sphérique après réduction Kaluza-Klein. Une dépendance explicite du spectre sur les invariants topologiques des fibrés de Milnor (utilisés dans la construction des 7-sphères exotiques) est finalement obtenue. Des applications possibles en physique de la matière condensée sont également discutées. Nous avons également étudié l'interaction des particules sur des variétés lisses exotiques et/ou sur des variétés ne possédant pas de structure lisse. Finalement, les 7-sphères exotiques de Milnor munies des métriques de type Kaluza-Klein que nous construisons sont aussi des solutions << exotiques >> du modèle sigma non-linéaire avec groupe de symétrie (O(5)). This thesis focuses on the study of the physical effects of exotic differential structures in Kaluza-Klein theories. First, we consider Milnor's exotic 7-spheres, which we relate to some solutions of Yang-Mills equations with (SO(4)) gauge group. In doing that, we relate the topological invariants of the (SO(4)-)multi-instantons and other Yang-Mills connections that we construct to those of Milnor bundles, whose total spaces are 7-exotic spheres. Then, we use an explicit description of some exotic 7-spheres as total spaces of (S^3-)bundles over (S^4) with structure group (SO(4)) to construct Kaluza-Klein metric on them. These are determined by the data of a Riemannian metric on the compactified space-time (S^4), a (SO(4)-)invariant Riemannian metric on the fiber (S^3), and a (SO(4)-)gauge field on (S^4) compatible with the global topology of the Milnor bundle. Subsequently, we make a reduction from a Kaluza-Klein theory on exotic spheres to an effective Einstein-Yang-Mills theory on the compacted space-time (S^4) with cosmological constant. Under this reduction, many solutions of the Einstein-Yang-Mills equations on (S^4) arise naturally. Moreover, we study the physical effects of exotic 7-spheres with Kaluza-Klein metrics on the spectrum of the Dirac operator in the Kaluza-Klein limit and after the reduction on the compactified (S^4). To this end, we use the properties of the Dirac operator on symmetric spaces to compute the spectrum of the Dirac operator for fermions on (S^4) in the presence of spherically symmetric (SO(4)-)multi-instantons, and finally obtain an explicit dependence of the spectrum on topological invariants of Milnor bundles (associated to 7-exotic spheres). Possible applications in condensed matter physics are also discussed. We have also studied interactions of particles on exotic smooth manifolds and/or on manifolds lacking smooth structures. Finally, the Milnor's exotic 7-spheres endowed with the Kaluza-Klein metrics that we construct are also <> solutions of the (O(5)-)nonlinear sigma model.