Cohomologie de fibrés en droite sur le fibré cotangent de variétés grassmanniennes généralisées

Abstract

Cette thèse s'intéresse à la cohomologie de fibrés en droite sur le fibré cotangent de variétés projectives. Plus précisément, pour G un groupe algébrique simple, connexe et simplement connexe, P un sous-groupe maximal de G et ω un générateur dominant du groupe de caractères de P, on cherche à comprendre les groupes de cohomologie Hi(T∗(G/P),L) où L est le faisceau des sections d'un fibré en droite sur T∗(G/P). Sous certaines conditions, nous allons montrer qu'il existe un isomorphisme, à graduation près, entre Hi(T∗(G/P),L) et Hi(T∗(G/P),L∨) Après avoir travaillé dans un contexte théorique, nous nous intéresserons à certains sous-groupes paraboliques en lien avec les orbites nilpotentes. Dans ce cas, l'algèbre de Lie du radical unipotent de P, que nous noterons \nLie, a une structure d'espace vectoriel préhomogène. Nous pourrons alors déterminer quels cas vérifient les hypothèses nécessaires à la preuve de l'isomorphisme en montrant l'existence d'un P-covariant f dans \comp[\nLie] et en étudiant ses propriétés. Nous nous intéresserons ensuite aux singularités de la variété affine V(f). Nous serons en mesure de montrer que sa normalisation est à singularités rationnelles. In this thesis, we study the cohomology of line bundles on cotangent bundle of projective varieties. To be more precise, let G be an semisimple algebraic group which is simply connected, P a maximal subgroup and ω a dominant weight that generates the character group of P. Our goal is to understand the cohomology groups Hi(T∗(G/P),L) where L is the sheaf of sections of a line bundle on T∗(G/P). Under some conditions, we will show that there exists an isomorphism, up to grading, between Hi(T∗(G/P),L) and Hi(T∗(G/P),L∨). After we worked in a theoretical setting, we will focus on maximal parabolic subgroups related to nilpotent varieties. In this case, the Lie algebra of the unipotent radical of P has a structure of prehomogeneous vector spaces. We will be able to determine which cases verify the hypothesis of the isomorphism by showing the existence of a P-covariant f in \comp[\nLie] and by studying its properties. We will be interested by the singularities of the affine variety V(f). We will show that the normalisation of V(f) has rational singularities.