Sur le diamètre du groupe de difféomorphismes du cube préservant les volumes

Abstract

Dans ce mémoire de maîtrise, nous étudions le groupe des difféomorphismes du cube qui préservent les volumes, avec la métrique L2. Ces fonctions représentent les configurations d’un fluide incompressible dans un cube. La distance entre deux configurations dans ce contexte est définie par l’énergie cinétique minimale nécessaire pour passer de l’une à l’autre. Nous présenterons un résultat de Shnirelman qui établit que le diamètre de ce groupe est fini. Cela signifie que pour toute paire de configurations, l’énergie minimale requise pour passer de l’une à l’autre est bornée. Shnirelman montre également qu’il existe des configurations pour lesquelles il n’existe pas de chemin minimal en termes d’énergie cinétique entre les deux. Dans le premier chapitre, nous définissons les objets d’étude qui seront utilisés tout au long du mémoire. Le deuxième chapitre présente le résultat principal de l’article, qui consiste en une borne sur la distance entre deux configurations, et nous montrons comment ce résultat permet de conclure que le diamètre du groupe est fini. Nous construisons également, dans ce chapitre, une configuration pour laquelle la distance par rapport à l’identité ne peut pas être minimisée. Le chapitre 3 est consacré aux flots discrets, tandis que le chapitre 4 expose comment certaines configurations peuvent être approximées par des flots discrets. Enfin, le chapitre 5 traite de la démonstration du résultat principal. In this master’s thesis, we delve into the study of the group of volume-preserving diffeomor- phisms of the cube, equipped with the L2 metric. These functions represent configurations of an incompressible fluid within a cube. The distance between two configurations in this context is defined by the minimal kinetic energy required to transition from one to the other. We will present a result by Shnirelman establishing that the diameter of this group is finite. This means that for any pair of configurations, the minimal energy required to transition from one to the other is bounded. Shnirelman also shows that there exist configurations for which there is no minimizing path between them in terms of kinetic energy. In the first chapter, we define the objects of study that will be used throughout the thesis. The second chapter presents the main result of the paper, which is a bound on the distance between two configurations, and we demonstrate how this result leads to the conclusion that the diameter of the group is finite. Additionally, in this chapter, we construct a configuration for which the length with respect to the identity cannot be minimized. Chapter 3 is devoted to discrete flows, while Chapter 4 explains how certain configurations can be approximated by discrete flows. Finally, Chapter 5 deals with the proof of the main result.