Construction de méthodes de volumes finis tridimensionnelles sans solveur de Riemann pour les systèmes hyperboliques non-linéaires

Abstract

Dans cette thèse nous abordons la conception de nouveaux schémas de type volumes finis pour la résolution de systèmes hyperboliques non-linéaires pour la prédiction des écoulements compressibles instationnaires. Les nouveaux schémas présentés s'appuient tous sur les schémas proposés par Arminjon-Viallon et Arminjon-Stanescu-Viallon en 2 dimensions spatiales qui, eux, furent dérivés du schéma de Nessyahu-Tadmor en une dimension d'espace construit à partir du schéma décalé bien connu de Lax-Friedrichs. Ces schémas peuvent être considérés comme étant tous du type de Godunov et ont pour caractéristique principale d'éviter la résolution des problèmes de Riemann aux interfaces en utilisant 2 maillages différents pour, respectivement, les pas de temps pairs et impairs. Pour éviter la trop grande diffusion amenée par le schéma de Lax-Friedrichs, on a eu recours à l'utilisation d'une technique nommée MUSCL, originalement proposée par van Leer, consistant à reconstruire la solution constante par cellule en une solution linéaire par cellule tout en limitant les oscillations grâce à l'utilisation de fonctions non-linéaires. On obtient tout d'abord une extension en 3 dimensions spatiales sur des maillages cartésiens structurés. Ensuite, nous abordons le cas de maillages non-structurés composés de tétraèdres, et la formulation mathématique du schéma associé à ces cellules. Pour réduire les temps de calcul, un nouveau, schéma de type centré fondé sur celui de Nessyahu-Tadmor mais évitant l'utilisation d'un pas intermédiaire, et composé d'un nouveau flux est proposé en une et 2 dimensions spatiales pour des maillages structurés, puis en 3 dimensions sur des maillages non structurés composés de tétraèdres. Les résultats obtenus démontrent que les nouvelles méthodes sont moins sensibles aux maillages déformés et qu'elles sont plus simples à mettre en œuvre du fait que le problème de Riemann est évité et qu'aucune information sur la décomposition de la discontinuité en les différents champs caractéristiques du système n'est nécessaire.