Rigidité du crochet de Poisson en topologie symplectique

Abstract

Ce mémoire est une introduction aux phénomènes de rigidité C0 en topologie symplectique. Plus précisément, il sera question de la rigidité C0 du crochet de Poisson sur une variété symplectique. Les notions élémentaires de la géométrie symplectique et de la dynamique hamiltonienne sont rappelées au premier chapitre. Le second chapitre traite de la géométrie d’Hofer du groupe des difféomorphismes hamiltoniens d’une variété symplectique. Le chapitre 3 concerne l’application de la géométrie d’Hofer à l’étude de fonctionnelles définies à partir du crochet de Poisson. Le résultat principal qui est démontré, dû à Buhovski, Entov et Polterovich, est la semi-continuité inférieure dans la topologie C0 de la fonctionnelle qui associe à chaque paire de fonctions la norme uniforme de leur crochet de Poisson. This master’s thesis is an introduction to C0 rigidity phenomena in symplectic topology. More precisely, the main concern is the C0 rigidity of the Poisson bracket on a symplectic manifold. The elementary notions of symplectic geometry and Hamiltonian dynamics are recalled in the first chapter. The second chapter introduces the Hofer geometry of the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a symplectic manifold. Chapter 3 concerns the application of Hofer geometry to the study of functionals defined in terms of the Poisson bracket. The main result, due to Buhovski, Entov and Polterovich, is the lower semi-continuity of the functional which assigns to every pair of functions the uniform norm of their Poisson bracket.