Pièges et vieillissement pour les marches aléatoires sur des environnements aléatoires hautement irréguliers : phénoménologie et étude de cas

Abstract

Nous présentons d’abord une introduction au sujet des marches aléatoires en milieux aléatoires. Nous nous penchons en particulier sur les phénomènes de ralentissement, et plus précisément sur la propriété de vieillissement qu’exhibent plusieurs de ces systèmes lorsque les paramètres sont tels qu’ils conduisent l’environnement aléatoire à produire fréquemment des « pièges », soient des structures qui retiennent la marche aléatoire dans la même région de l’environnement pour de longues durées de temps. Nous illustrons ces notions à l’aide de résultats connus pour deux modèles. Nous présentons par la suite une preuve pour une propriété de vieillissement dans le cas de la marche aléatoire biaisée sur les conductances aléatoires à queues lourdes dans la grille infinie hyper-cubique à d dimensions, qui est le sujet d’un article en attente de publication. We first present an introduction to the topic of random walks on random environments (RWRE). In particular, we look at slow-down phenomena and, more specifically, ageing properties exhibited by multiple such systems when parameters are chosen such that the random environment frequently produces large “traps”: structures that hold up the progress of the random walk by keeping it in the same region of the environment for long periods of time. We illustrate these behaviours by presenting known results for two such models. We then present a proof for an ageing property in the case of the biased random walk on heavy-tailed random conductances in the infinite hyper-cubic lattice in d dimensions; this is the subject of a research article pending publication.