Faculté des arts et des sciences – Département de mathématiques et de statistique – Thèses et mémoires
URI permanent de cette collectionhttps://hdl.handle.net/1866/2988
Cette collection présente les thèses et mémoires des étudiant.e.s du Département de mathématiques et de statistique de l'Université de Montréal.
1990 - : Couverture exhaustive (quelques titres manquants)
avant 1990 : Période non couverte ou couverture partielle
Pour plus d'information sur le dépôt des thèses et mémoires consulter le site Thèses et mémoires des bibliothèques
Parcourir
Dépôts récents
Item Accès libre Apprentissage statistique des modèles de graphes aléatoires exponentiels : théorie et méthodesFortin-Leblanc, Gabriel; Maire, Florian (2024-08)Les modèles de graphes aléatoires de la famille exponentielle sont flexibles et permettent d’analyser des relations entre des objets. Malheureusement, leur souplesse vient avec un lot de difficultés. Échantillonner des graphes provenant de ces modèles est le plus souvent infaisable, ce qui oblige d’utiliser des techniques comme Métropolis-Hastings. Approximer l’estimateur de vraisemblance maximale est ardu, et l’utilisation de techniques souvent peu connues est nécessaire. En statistique bayésienne, une approximation par à une loi normale de la loi à postériori est tout ce qu’on peut espérer. Dans cette monographie, on commence par montrer comment échantillonner selon ces modèles, puisque cette tâche revient tout au long du document. Il s’en suit une étude détaillée sur l’estimateur de vraisemblance maximale, et puis finalement, on montre comment obtenir une approximation de la loi à postériori dans le cadre bayésien. Un grand effort est apporté à l’approximation par Monte Carlo par chaînes de Markov de l’estimateur de vraisemblance maximale. On y voit les conditions nécessaires et suffisantes à son existence et à son unicité, mais aussi à l’existence et l’unicité de son approximation. On apporte des améliorations aux algorithmes déjà existants pour mieux prendre en compte la théorie et assurer leur robustesse. On termine en démontrant le comportement asymptotique de l’approximation. Les précédentes études ont simplement appliqué la méthode pour ce type de modèle sans s’assurer de la validité de l’application, ce qu’on rectifie.Item Accès libre Overcoming the challenges in geometric deep learning via hybrid graph neural network architecturesWenkel, Jan Frederik; Wolf, Guy (2024-11)Les progrès technologiques nous permettent aujourd’hui de recueillir des données de différentes modalités, telles que le texte, l'audio, l'image ou la vidéo, à une échelle sans précédent. L'apprentissage profond est l'outil principal qui permet de comprendre et d'exploiter ces collections de données massives. Les capacités actuelles incluant des tâches prédictives telles que l'analyse des sentiments dans les textes, la classification de la musique et des images, la segmentation des images ou la reconnaissance des actions dans les vidéos, ainsi que des tâches génératives telles que la génération de textes, d'images, de musique et même de vidéos. Le succès de l'apprentissage profond dans de nombreuses applications est largement attribué à la capacité des méthodes à exploiter la structure intrinsèque des données. Les tâches de traitement d'images, par exemple, ont donné naissance aux réseaux neuronaux convolutifs qui utilisent l'organisation spatiale des pixels. Cependant, l'analyse des séries temporelles a donné naissance aux réseaux neuronaux récurrents qui utilisent l'organisation temporelle dans leur traitement de l'information en utilisant, par exemple, des mécanismes de mémoire. Alors que ces modalités peuvent être représentées dans des domaines Euclidiens qui possèdent des propriétés théoriques relativement agréables, d'autres modalités toutes aussi intéressantes possédant une structure plus abstraite. Les données des réseaux sociaux, des moteurs de recherche, des petites molécules ou des protéines sont naturellement représentées par des graphes. L'apprentissage profond géométrique est dirigé vers la généralisation de réseaux neuronaux qui peuvent utiliser la structure à de tels domaines non-Euclidiens. Les principaux outils sont les réseaux neuronaux de graphes qui généralisent les principes des réseaux neuronaux convolutionnels dans le domaine de la vision au domaine des graphes. Cela a permis de développer des méthodes puissantes pour de diverses applications, telles que l'analyse des réseaux sociaux et l’analyse ou la génération de molécules. Toutefois, ces méthodes sont limitées par plusieurs défis fondamentaux liés au paradigme central de passage de messages, c'est-à-dire le calcul répété de moyennes d’information au niveau des sommets par rapport au voisinage de chaque sommet. En conséquence, les représentations locales au niveau des sommets deviennent soit trop similaires en raison des calculs de moyenne répétés, soit les champs récepteurs des modèles sont trop petits pour que les informations ne puissent pas être partagées entre les sommets distants. Cette thèse présentera des approches pour relever ces défis en commençant par analyser et comprendre des données pertinentes et en identifiant les propriétés structurelles qui permettent un apprentissage efficace des représentations des graphes. Nous formulons ensuite un cadre théorique basé sur la théorie du traitement des signaux de graphes qui nous permet de développer de nouvelles architectures GNN puissantes qui exploitent ces propriétés, tout en atténuant les défis courants. Nous constatons que les modèles hybrides qui combinent les méthodes existantes et les nouveaux principes présentés dans cette thèse sont particulièrement puissants. Nous fournissons des garanties théoriques qui établissent les capacités théoriques des architectures proposées et présentons une analyse empirique qui démontre l'efficacité de ces nouvelles architectures dans une variété d’applications telles que les réseaux sociaux, la biochimie et l'optimisation combinatoire.Item Accès libre Groupes de cobordisme lagrangien immergé des variétés symplectiques : flexibilité, rigidité et obstructionRathel-Fournier, Dominique; Cornea, Octavian; Lalonde, François (2024-04)Cette thèse explore les propriétés de rigidité et de flexibilité des cobordismes lagrangiens immergés entre sous-variétés lagrangiennes de variétés symplectiques. Dans le premier article de cette thèse, intitulé On cobordism groups of Lagrangian immersions, on s’intéresse aux aspects flexibles des cobordismes lagrangiens. On y étudie les groupes de cobordisme d’immersions lagrangiennes \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) d’une variété symplectique \( M \). Il s’agit d’un sujet classique dont l’étude a été initiée par Arnold au début des années 80. Étendant un théorème dû à Eliashberg dans le cas des variétés symplectiques exactes, nous démontrons que le calcul de \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) se réduit à un problème de théorie de l’homotopie stable. Plus précisément, nous associons à toute variété symplectique \( M \) un spectre de Thom et démontrons que le groupe \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) s’exprime en terme des groupes d’homotopie stables de ce spectre. L’ingrédient principal de la preuve est le h-principe de Gromov- Lees, qui a pour conséquence que le problème d’existence des immersions lagrangiennes se réduit à un problème de topologie algébrique. Dans le second article de cette thèse, intitulé Unobstructed Lagrangian cobordism groups of surfaces, on s’intéresse aux aspects rigides des cobordismes lagrangiens dans le cas de surfaces symplectiques \( \Sigma \) de genre \( g \geq 2 \). On y étudie une classe de cobordismes lagrangiens immergés qui satisfont une contrainte sur les disques holomorphes qu’ils bordent, ce qui permet de leur appliquer les techniques de la théorie de Floer. On dit alors de ces cobordismes qu’ils sont non-obstrués. Les principaux résultat de ce second article sont, d’une part, le calcul du groupe de cobordisme non-obstrué \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) et, d’autre part, la construction d’un isomorphisme naturel entre \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) et le groupe de Grothendieck de la catégorie de Fukaya dérivée de \( \Sigma \). Cela résout, dans le cas des surfaces fermées de genre \( g \geq 2\), un problème posé par Biran et Cornea.Item Accès libre Algèbres affines quantiques et algèbres reliées : R-matrices, inflations et système intégrablesPinet, Théo; Saint-Aubin, Yvan; Hernandez, David (2024-09)Cette thèse s'inscrit dans le vaste domaine de la théorie des représentations des groupes quantiques et des algèbres y étant reliées. Elle est divisée en trois sous-projets, tous motivés par des problèmes provenant de la théorie des systèmes intégrables quantiques et de l'étude des algèbres amassées. La thèse a donné lieu à deux articles publiés et à une prépublication. Le premier sous-projet s’intéresse à la structure algébrique d’une famille remarquable de systèmes physiques: les chaînes de spins XXZ périodiques. Le résultat central du sous-projet est la description explicite et totale de la structure de Jordan–Hölder de ces chaînes de spins pour une action naturelle des algèbres de Temperley–Lieb affines. D’autres résultats issus de ce sous-projet contiennent : une description explicite de la structure des modules projectifs de dimension finie du groupe quantique Uqsl2 (en q racine de l’unité) et une généralisation partielle de la célèbre dualité de Schur–Weyl quantique. Le second sous-projet s'intéresse à la construction de R-matrices pour la catégorie O de représentations de la sous-algèbre de Borel d'une algèbre de lacets quantique arbitraire. Les résultats principaux du projet sont la définition d'un foncteur F inversible et exact liant la catégorie O de l'algèbre de Borel Uq(b) à celle de Uq'(b) (pour q'=1/q) avec la preuve que ce foncteur F intervertit les sous-catégories O^± de Hernandez–Leclerc (tout en étant compatible avec les produits tensoriels et la simplicité des modules). Ces résultats, qui répondent à une question de Hernandez–Leclerc, permettent de construire des R-matrices pour la sous-catégorie O^+ via des R-matrices ``duales" (définies récemment par Hernandez pour O^-) et peuvent servir à déduire de nouvelles relations pour l'anneau de Grothendieck de la catégorie O. Enfin, le dernier sous-projet introduit la notion d'inflations pour les représentations des algèbres affines quantiques décalées. Ces inflations, qui sont des préimages particulières pour certains foncteurs de restriction canoniques issus des inclusions de diagrammes de Dynkin, simplifient l'étude des modules sur les algèbres affines quantiques décalées et ont, via ce fait, plusieurs applications en théorie des systèmes intégrables. Le résultat principal de ce dernier sous-projet est un théorème d'existence pour les inflations d'objets simples de la catégorie O^sh en type A–B–G (ou en tout type pour les simples de dimension finie de cette catégorie).Item Accès libre Multiplicité des valeurs propres du laplacien sur les surfaces hyperboliques triangulairesPineault, Mathieu; Fortier Bourque, Maxime (2024-07)Ce mémoire porte sur l’étude du laplacien sur des surfaces de Riemann. En particulier, nous nous intéressons à ses valeurs propres qui représentent les notes que jouerait la surface si elle était un tambour. Les valeurs les plus étudiées sont la première valeur propre non nulle λ1 ainsi que sa multiplicité m1 (la dimension de l’espace propre). Notamment, Colin de Verdière conjecturait que m1 est toujours borné supérieurement par le nombre chromatique moins 1. Des travaux de Fortier Bourque et Petri ont montré que parmi toutes les surfaces hyperboliques de genre 3, c’est la quartique de Klein qui maximise la multiplicité et atteint la borne supérieure conjecturée par Colin de Verdière. Cette surface est la première d’une suite de surfaces hautement symétriques, les surfaces de Hurwitz. Nous montrons à l’aide de la formule des traces de Selberg que pour la prochaine surface dans la suite, la surface de Fricke–Macbeath F, nous avons m1(F) = 7. Une recherche indépendante menée par Chul-hee Lee arrive au même résultat à propos de la multiplicité. Le chapitre 1 introduit des notions géométriques comme la géométrie hyperbolique, les surfaces hyperboliques et triangulaires ainsi que le théorème de Hurwitz. Le chapitre 2 présente des concepts de base de théorie spectrale ainsi que des outils comme la formule des traces de Selberg et la théorie de la représentation. Le chapitre 3 est dédié à l’étude de la surface de Fricke–Macbeath et à la preuve de notre résultat principal à l’aide des outils des chapitres précédents. Dans le chapitre 4, nous discutons de nouvelles techniques de calcul de m1 qui ont été utilisées pour montrer l’existence de contre-exemples à la conjecture de Colin de Verdière dans des travaux conjoints avec Fortier Bourque, Gruda-Mediavilla et Petri.Item Accès libre Carquois et relations pour les blocs réguliers des algèbres blobPetit, Philippe; Saint-Aubin, Yvan (2024-06)Les algèbres de Temperley–Lieb de type B, aussi appelées algèbres de Temperley–Lieb à une frontière, sont une famille d’algèbres associatives unitaires de dimension finie généralisant les algèbres de Temperley–Lieb. Elles ont été introduites en 1992 par P.P. Martin et H. Saleur pour la résolution de modèles en mécanique statistique [MS94], mais elles ont rapidement pris de l’importance en théorie de la représentation suite aux travaux de P.P. Martin et D. Woodcock [MW00] [MW03], qui montrent qu’elles s’obtiennent comme quotient d’al- gèbres de Hecke cyclotomiques et qui observent des liens profonds avec la théorie de Lie. Ces quotients sont liés aux algèbres de Khovanov–Lauda–Rouquier (KLR) par les travaux de Brundan et Kleshchev [BK09]; c’est à l’aide des algèbres KLR et de leur formulation diagrammatique que les résultats de ce mémoire seront obtenus. Elles seront maintenant appelées algèbres blob. Ce mémoire porte sur la théorie de la représentation de certains blocs des algèbres blob. Plus précisément, nous trouvons les carquois et relations décrivant les catégories de modules des blocs réguliers en caractéristique nulle. Les résultats sont obtenus par calcul diagram- matique, en utilisant la base cellulaire construite par Plaza–Ryom-Hansen [PRH14] et les idempotents primitifs de Hazi–Martin–Parker [HMP21]. Structure du mémoire: Le premier chapitre rappelle brièvement les notions algébriques qui seront utilisées. Le deuxième chapitre présente les algèbres blob de façon algébrique et diagrammatique, puis plusieurs résultats connus sur celles-ci. Les troisième et quatrième chapitres contiennent tous les résultats originaux, c’est-à-dire le calcul du carquois et relations pour les blocs réguliers.Item Accès libre Modèles avec appariement en théorie des jeux évolutionnisteMartin, Éloi; Lessard, Sabin (2024-07)La question de l’évolution de la coopération suscite l’intérêt des biologistes depuis longtemps. Les modèles mathématiques ont joué un rôle essentiel dans la résolution du problème. La théorie des jeux précise la notion de coopération, tandis que les équations différentielles et les probabilités permettent de comprendre l’évolution des populations dans le temps. Ce mémoire est consacré à l’analyse de certains modèles de population qui ont en commun un phénomène d’appariement. Il faut comprendre par là que les individus expriment une préférence à interagir avec des individus semblables. Un chapitre liminaire revient sur certains développements importants de la théorie dy namique des jeux et de la biologie mathématique en général. On y évoque notamment l’équation de réplication, le modèle de Cannings, la diffusion de Wright-Fisher et la règle du tiers de l’évolution. Le second chapitre est un article « Assortment by Group Founders Always Promotes the Evolution of Cooperation Under Global Selection but Can Oppose it Under Local Selection ». On y examine l’effet de l’appariement sur la stabilité de l’équation de réplication avec sélection locale et globale, et la probabilité de fixation dans le modèle de Cannings avec sélection pour une grande population, pour des jeux de deux joueurs. Le troisième chapitre est un autre article « Evolution of cooperation in social dilemmas with assortment in finite population ». Il prolonge les résultats du premier article aux jeux de plusieurs joueurs, appelés dilemmes sociaux, pour une population grande mais finie.Item Accès libre Mahler measure evaluations of polynomial families constructed via certain Möbius transformationsNair, Siva Sankar; Lalín, Matilde (2024-04)Les polynômes sont une entité fondamentale en mathématiques, notamment en théorie des nombres. Les fonctions de hauteur sont utilisées pour étudier les polynômes de manière systématique et, dans de nombreux cas, simplifient grandement la preuve de théorèmes complexes. Les fonctions \(L\) forment une autre classe d'objets mathématiques qui trouvent une grande importance dans la théorie des nombres. La célèbre fonction zêta de Riemann est l'un des exemples les plus connus et les plus fondamentaux d'une fonction \(L\). Cette thèse s'articule autour de la mesure de Mahler, une fonction de hauteur sur les polynômes qui apparaît souvent comme des valeurs spéciales des fonctions \(L\) et forme un lien mystérieux entre ces deux domaines de recherche. Notre objectif est d'explorer trois questions concernant la mesure de Mahler de plusieurs familles de polynômes construites via certaines transformations de Möbius. Le premier résultat, publié dans [Bull. Lond. Math. Soc. 55 (2023), 1129-1142], décrit une famille de transformations non triviales qui, appliquées à n'importe quel polynôme, donnent des polynômes de plus en plus complexes sans changer sa mesure de Mahler. Cela conduit à plusieurs identités entre la mesure de Mahler des polynômes et résout de nombreuses relations conjecturales. Dans le deuxième résultat, nous obtenons des formules explicites pour la mesure de Mahler des familles polynomiales pouvant avoir autant de variables que souhaité. Ces mesures de Mahler sont exprimées en termes de valeurs \(\zeta\) et de valeurs \(L\) correspondant au caractère primitif de Dirichlet de conducteur 3. Le résultat s'appuie sur les idées de Lalín pour construire de telles familles de \(n\)-variables dans un nouveau direction, ouvrant les portes à de nombreuses autres relations intéressantes du même genre. Ce résultat a été soumis pour publication. Enfin, notre troisième résultat, accepté pour publication, concerne la mesure de Mahler d'une autre famille de polynômes \(n\)-variables qui ont des degrés non linéaires, par opposition aux familles des travaux de Lalín et à notre deuxième résultat dans lequel chaque variable avait un degré linéaire. Ce résultat conduit à l'expression de la mesure de Mahler en termes de plusieurs polylogarithmes de longueur 2 qui sont réduits à des polylogarithmes de longueur un en utilisant des identités appropriées. Nous présentons certains exemples où ces expressions peuvent être écrites en termes de valeurs zêta et de valeurs de fonctions \(L\) de Dirichlet de caractères de conducteurs 4, 8 et 12.Item Accès libre Différents tests pour l'égalité de proportions dans un tableau de contingence 2x2Morel, Josée; Lepage, Yves (1991)Item Accès libre Sur l'analyse paramétrique et non paramétrique des courbes de croissancePerron, Doris; Ducharme, Gilles (1990)Item Accès libre Sur les splines de régression à noeuds variablesGuertin, Marie-Claude; Ducharme, Gilles (1992)Item Accès libre Analyse de Fourier d'une surface de régression non paramétriqueSobhy, Souad; Bilodeau, Martin (1992)Item Accès libre Estimation bayésienne d'une fonction avec contraintesBennaghmouch, Zouhaïr; Angers, Jean-Francois (1992)Item Accès libre Inférence statistique sur les modèles de chaînes de Markov dans le contexte de l'entretien routierHarel, François; Gendreau, Michel; Lepage, Yves (1992)Item Accès libre Implantation de réseaux de neurones artificiels en S-PLUS. Application : comparaison de méthodes statistiques dans le choix du nombre de cellules cachéesAdico, Urbain Léonce; Ciampi, Antonio; Ducharme, Gilles (1997)Item Accès libre Méta-analyse : théorie et comparaison des modèles à effets fixes et à effets aléatoiresJacques, Danielle; Tardif, Serge (1997)Item Accès libre Méthode d'échantillonnage pour les populations fortement asymétriquesBoudreau, Christian; Sarndal, Carl E (1997)Item Accès libre Comparaison de plans d'échantillonnage pour la coordination d'échantillons utilisant la technique des nombres aléatoires permanentsLéveillé, Claude; Sarndal, Carl E (1997)Item Accès libre Tests de signe et de rangs affines-invariants bivariés pour K (1) échantillons et pour la régression linéaireLarocque, Denis; Tardif, Serge; Van Eeden, Constance (1997)Item Accès libre Analyse des courbes de la caractéristique opérationnelle du résultat (COR)Allaire, Jean-François; Lepage, Yves (1997)